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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6: Teorema del Valor Medio

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8. Calcule los siguientes límites
c) lim⁡x→0+ln⁡(x)(ex−1)\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln(x)(e^{x}-1)

Respuesta

Calculamos ahora este límite:

lim⁡x→0+ln⁡(x)(ex−1)\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln(x)(e^{x}-1)

Vemos que estamos frente a una indeterminación de tipo "cero por infinito". Reescribimos como un cociente para poder aplicar L'Hopital:

lim⁡x→0+ln⁡(x)1ex−1. \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{e^{x}-1}}.

Ahora estamos frente a un "infinito sobre infinito", ya podemos aplicar L'Hopital:

lim⁡x→0+1x−ex(ex−1)2=lim⁡x→0+−1x(ex−1)2ex= lim⁡x→0+ −(ex−1)2xex \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{e^x}{(e^{x}-1)^2}} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-1}{x}\frac{(e^{x}-1)^2}{e^x} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-(e^x -1)^2}{x e^x}

Ahora nos quedó un "cero sobre cero", no hay problema, vamos con L'Hopital una vez más:

lim⁡x→0+−2(ex−1)exex+xex=0 \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-2 (e^x - 1) e^x}{e^x + xe^x} = 0

Y terminamos, el resultado del límite es 00
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Valentina
24 de mayo 11:29
Hola flor!! te hago una consulta, porque cuando aplicas L'Hopital en el denominador queda -e elevado a la x? No entiendo como llegaste a ese resultado.
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Flor
PROFE
24 de mayo 21:08
@Valentina Hola Valen! Mirá, acá te hice la derivada del denominador en la tablet, avisame si asi queda claro :)

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